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Esempi utili di applicazione del teorema della derivata di funzione inversa per il calcolo delle derivate di funzioni goniometriche inverse. Dimostrazione alternativa delle derivate fondamentali delle funzioni goniometriche inverse mediante l'uso del teorema della derivata di funzione inversa.
\[\left[ \begin{array}{l}
{\rm{Teorema}}\;{\rm{della}}\;{\rm{Derivata}}\;{\rm{di}}\;{\rm{Funzione}}\;{\rm{Inversa}}\\
hp:\\
\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)\\
\;\;\;\;\;{D_i} \subseteq {D_f}\;\;\;\;f\;invertibile\;su\;{D_i}\\
\;\;\;\;\;f:{D_i} \to f({D_i}),\;\;x \to y = f(x)\\
\;\;\;\;\;{f^{ - 1}}:f({D_i}) \to {D_i},\;\;y \to x = {f^{ - 1}}(y)\\
\;\;\;\;\;f\;derivabile\;su\;{D_i}\;\;,\;\;f'(x) \ne 0\;\;\forall x \in {D_i}\\
th:\\
\;\;\;\;\;{D_y}[\;{f^{ - 1}}(y)\;] = \frac{1}{{{D_x}[\;f(x)\;]}} = \frac{1}{{f'(x)}}
\end{array} \right.\]
\[{\left[ \begin{array}{l}
{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}\\
arcsen:[ - 1,1] \to [ - \frac{\pi }{2},\;\frac{\pi }{2}],\;x \to y = f(x) = arcsen(x)\;\;\;\;\;\;\;\;D\;[\;arcsen(x)\;] = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\
\arccos :[ - 1,1] \to [0,\;\pi ],\;x \to y = f(x) = \arccos (x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D\;[\;arcsen(x)\;] = \frac{-1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\
arctg:R \to ] - \frac{\pi }{2},\;\frac{\pi }{2}[,\;x \to y = f(x) = arctg(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D\;[\;arctg(x)\;] = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\\
arccotg:R \to ]0,\;\pi [,\;x \to y = f(x) = arccotg(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D\;[\;arccotg(x)\;] = \frac{{ - 1}}{{{x^2} + 1}}
\end{array} \right.}\]
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Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teorema della Derivata di Funzione Inversa >> Calcolo Derivate di Funzioni Goniometriche Inverse
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