Differenziale e Approssimazione di una Funzione in un Intorno - Teoria
PlayList delle Video-Lezioni di Teoria su Differenziale e Approssimazione di una Funzione in un Intorno.
Approfondimento del concetto di differenziale e uso del differenziale per l'approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto mediante la funzione retta tangente (polinomio di primo grado). Esempio di approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto e uso tipico di applicazione nel calcolo dei limiti. Esempio di calcolo numerico approssimato di una funzione nell'intorno di un punto.
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# Contenuti Argomento e Argomenti Correlati #
- Rapporto incrementale
- Limite del rapporto incrementale
- Definizione di derivata e derivabilità
- Significato geometrico di derivata
- Coefficiente angolare e retta tangente
- Limite del rapporto incrementale destro-sinistro
- Definizione di derivata e derivabilità destra-sinistra
- Coefficiente angolare e retta tangente destra-sinistra
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- Definizione di differenziale di una funzione e proprietà
- Significato geometrico del differenziale
- Invarianza del differenziale al cambio di variabili e alla composizione di funzioni
- Differenziale e Approssimazione di una Funzione in un Intorno
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# Titoli Video-Tutorials e Testo Contenuti #
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Durata Video : [00:35:07]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]
Descrizione Contenuti Video :
Approfondimento del concetto di differenziale e uso del differenziale per l'approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto mediante la funzione retta tangente (polinomio di primo grado). Esempio di approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto e uso tipico di applicazione nel calcolo dei limiti. Esempio di calcolo numerico approssimato di una funzione nell'intorno di un punto.
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Differenziale}}\;{\rm{di}}\;{\rm{una}}\;{\rm{Funzione}}}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \approx f'({x_0})\,\Delta x}\\
{df = dy = d\,{{[f(x)]}_{{x_0}}} = f'({x_0})\Delta x = f'({x_0})\,dx}\\
{dy = d\,[f(x)] = f'(x)\,dx}\\
{{{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|}_{{x_0}}} = f'({x_0})}\\
{\frac{{dy}}{{dx}} = f'(x)}
\end{array}} \right.\]
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Approssimazione}}\;{\rm{di}}\;{\rm{una}}\;{\rm{Funzione}}\;{\rm{in}}\;{\rm{un}}\;{\rm{Intorno}}}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f'({x_0})\,\Delta x + r(x)}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{r(x)}}{{\Delta x}} = 0}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \approx f'({x_0})\,\Delta x}\\
{x = {x_0} + \Delta x}\\
{f(x)\mathop \approx \limits_{x \to {x_0}} f({x_0}) + f'({x_0})\,\Delta x}
\end{array}} \right.\]
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
\begin{array}{l}
f(x) = \ln (1 + x) \approx x\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0,34) = \ln (1 + 0,34) = \ln (1,34) = 0,2826...\\
f(0,34) = \ln (1 + 0,34) = \ln (1,34) \approx 0,34
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0,01) = \ln (1 + 0,01) = \ln (1,01) = 0,00995...\\
f(0,01) = \ln (1 + 0,01) = \ln (1,01) \approx 0,01
\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1
\end{array}
\end{array}} \right.\]