Teorema di De Hopital - Uso con altre Forme Indeterminate - Teoria
PlayList delle Video-Lezioni di Teoria sul Teorema di De Hopital : Uso con altre Forme Indeterminate.
Applicazione della regola di De Hopital con altre forme indeterminate diverse da quelle proprie del teorema. Riepilogo di tutte le forme indeterminate nel calcolo dei limiti e approfondimento sulle loro trasformazioni per ricondurle a quelle proprie del teorema di De Hopital. Esempi di calcolo di limiti su ciascuna forma indeterminata con relativa trasformazione nella forma compatibile con l'applicazione della regola di De Hopital.
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- Categoria: Uso con altre Forme Indeterminate
Durata Video : [01:02:36]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]
Descrizione Contenuti Video :
Applicazione della regola di De Hopital con altre forme indeterminate diverse da quelle proprie del teorema. Riepilogo di tutte le forme indeterminate nel calcolo dei limiti e approfondimento sulle loro trasformazioni per ricondurle a quelle proprie del teorema di De Hopital. Esempi di calcolo di limiti su ciascuna forma indeterminata con relativa trasformazione nella forma compatibile con l'applicazione della regola di De Hopital.
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Teorema}}\;{\rm{di}}\;{\rm{De}}\;{\rm{Hopital}}\;({\rm{Teorema}}\;{\rm{1^\circ }}\;{\rm{e}}\;{\rm{2^\circ }})}\\
{hp:}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_g} \subseteq R\;\;\;\;\;g:{D_g} \to R,\;\;x \to y = g(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;D = {D_f} \cap {D_g}\;\;\;{x_0} \in \;\mathop {{\rm{ }}R}\limits^{\_\_} = R \cup \{ - \infty , + \infty \} }\\
{\;\;\;\;\;\;1)\;f,g\;\;{\rm{infinitesime}}\;{\rm{o}}\;{\rm{infinite}}\;{\rm{per}}\;x \to {x_0}}\\
{\;\;\;\;\;\;2)\;f,g\;\;{\rm{derivabili}}\;{\rm{per}}\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;con\;g'(x) \ne 0\;\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;3)\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = l = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ \pm \infty }\\
{ \in R}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{th:}\\
{\;\;\;\;\;\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}][\frac{\infty }{\infty }]} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}}
\end{array}} \right.\]
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Forme}}\;{\rm{Indeterminate}}}\\
\begin{array}{l}
f(x) \pm g(x)\;\;\; \to \;\;\;[ \pm \infty \mp \infty ]\\
f(x) \cdot g(x)\;\;\; \to \;\;\;[0 \cdot \infty ]\\
\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\;\; \to \;\;\;[\frac{0}{0}]\;\;\;\;\;[\frac{\infty }{\infty }]\\
f{(x)^{g(x)}}\;\;\; \to \;\;\;[{0^0}]\;\;\;\;\;[{\infty ^0}]\;\;\;\;\;[{1^\infty }]
\end{array}
\end{array}} \right.\]
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \;[\frac{1}{x} - \frac{1}{{sen(x)}}] = [ + \infty - \infty ]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \;[{x^2} - \ln (x)] = [ + \infty - \infty ]}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\ln (x) = [0\cdot\infty ]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}{e^x} = [\infty \cdot0]}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^{ - 2}}}}{{{e^{ - x}}}} = [\frac{0}{0}]}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^{sen(x)}} = [{0^0}]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{(\frac{1}{x})}^{\sqrt x }} = [{\infty ^0}]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{(x + 1)}^{\frac{1}{x}}} = [{1^\infty }]}
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}} \right.\]