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Dimostrazione del 1° teorema di De Hopital relativo alla forma indeterminata [0/0]. Approfondimento sulle ipotesi e condizioni di applicabilità del teorema con riferimento al teorema alla base della dimostrazione: teorema di Cauchy.
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Teorema}}\;{\rm{di}}\;{\rm{De}}\;{\rm{Hopital}}\;({\rm{Teorema}}\;{\rm{1}})}\\
{hp:}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_g} \subseteq R\;\;\;\;\;g:{D_g} \to R,\;\;x \to y = g(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;D = {D_f} \cap {D_g}\;\;\;{x_0} \in \;\mathop R\limits^{\_\_} = R \cup \{ - \infty , + \infty \} }\\
{\;\;\;\;\;\;1)\;f,g\;\;{\rm{infinitesime}}\;{\rm{per}}\;x \to {x_0}}\\
{\;\;\;\;\;\;2)\;f,g\;\;{\rm{derivabili}}\;{\rm{per}}\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;con\;g'(x) \ne 0\;\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;3)\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = l = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ \pm \infty }\\
{ \in R}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{th:}\\
{\;\;\;\;\;\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}]} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}}
\end{array}} \right.\]
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Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teoremi Fondamentali >> Teorema di De Hopital >> Dimostrazione
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