Studio convergenza integrale fratto con esponenziale e coseno

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Studio convergenza integrale fratto con esponenziale e coseno

Messaggioda antonio » 12/06/2016, 17:52

salve professore avrei bisogno del suo aiuto per risolvere questo esercizo:

Si risolva il seguente integrale e stabilire se sia convergente o meno

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}-cosx}$

spero mi possiate aiutare al più presto.
attendo sua risposta.
grazie.
Alessandro Scott
antonio
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Re: Studio convergenza integrale fratto con esponenziale e coseno

Messaggioda maurizio.schirinzi » 19/06/2016, 17:03

Ciao,
\[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{e^x} - \cos (x)}}dx} \]
si tratta di un integrale improprio del 1° tipo con punto problematico x=0; studiando il comportamento asintotico mediante gli sviluppi di Taylor delle funzioni esponenziale e coseno (troncati al 2° ordine ma basterebbe anche il 1° ordine) nell'intorno destro di x=0 si ha:
\[x \to {0^ + }\;\;:\;\;\frac{1}{{{e^x} - \cos (x)}}\mathop \sim \limits_{x \to 0} \frac{1}{{1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} - (1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}})}} = \]
\[ = \frac{1}{{1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} - 1 + \frac{{{x^2}}}{2}}} = \frac{1}{{x + {x^2}}}\mathop \sim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\;\;\; \to \;\;\;diverge!\]
la conclusione si deduce ovviamente con il criterio del confronto asintotico rispetto all'integrale notevole del tipo
\[\int\limits_0^{b > 0} {\frac{1}{{{x^\alpha }}}dx} = \left\{ \begin{array}{l}
\alpha < 1\;\;\; \to \;\;\;converge!\\
\alpha \ge 1\;\;\; \to \;\;\;diverge!
\end{array} \right.\]

Saluti. ;)
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