Punto di accumulazione

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Punto di accumulazione

Messaggioda Tolean » 16/01/2016, 21:05

Buonasera :)
Mi scuso con gli amministratori se posto qui, ma non trovando la categoria giusta, chiedo venia in anticipo.
Non so da dove iniziare, perché non mi è chiaro molto l argomento.

Determinare l'insieme dei punti di accumulazione di A = {-3} U [0,1[ U ]2,+[\infty\]] in R, motivando la risposta.

Grazie in anticipo per la pazienz e aiuto :)
Tolean
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Re: Punto di accumulazione

Messaggioda maurizio.schirinzi » 28/01/2016, 23:00

Ciao, ricordiamo innanzitutto la definizione di punto di accumulazione rispetto ad un insieme A ...

Siano
\[{x_0} \in R\;\;A \subseteq R\]
(si noti che non interessa che ${x_0}$ appartenga ad A o meno!)

Si dice che ${x_0}$ è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno $I({x_0})$ di ${x_0}$ esiste almeno un elemento x diverso da ${x_0}$ ed appartenente ad A.

In formule possiamo scrivere:
\[{x_0}\;punto\;di\;accumulazione\;per\;A\; \Leftrightarrow \forall I({x_0})\;,\;[I({x_0}) - \{ {x_0}\} ] \cap A \ne \emptyset \]
Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su ${x_0}$ continuiamo a vedere punti di A (diversi da ${x_0}$) a qualsiasi livello di ingrandimento, o in altri termini che un punto ${x_0}$ è di accumulazione per un insieme A se l'insieme A contiene punti "arbitrariamente vicini" ad ${x_0}$!

Detto questo vediamo per il tuo insieme A quali sono i punti di accumulazione:
\[A = \{ - 3\} \; \cup \;[0,1[\; \cup \;]2, + \infty [\; \subset \;R\]
Osserviamo che per tutti i punti interni all'insieme (escludiamo per ora i punti di confine) possiamo certamente affermare che esiste sempre un intorno opportunamente piccolo per ciascuno di essi che contiene altri punti di A, oltre al punto stesso, pertanto possiamo dire che al momento l'insieme dei punti di accumulazione è
\[{I_a} = ]0,1[\; \cup \;]2, + \infty [\]
per quanto riguarda i punti di confine abbiamo le seguenti considerazioni:

per i punti
\[{x_0} = 0\;\;\;{x_0} = 1\;\;\;{x_0} = 2\]
è immediato verificare che possiamo pensare ad un intorno (anche solo destro o sinistro) che include altri punti di A, pertanto saranno punti di accumulazione!

per il punto
\[{x_0} = - 3\]
esso non è un punto di accumulazione (quindi sarà come si dice un punto isolato) in quanto non è vero che possiamo immaginare di prendere un qualsiasi intorno di -3 arbitrariamente piccolo che contenga altri punti di A (esso conterrà solo punti dello spazio R oltre a -3)

il punto
\[{x_0} = + \infty \]
esso merita un discorso a parte poichè non sarebbe nè un punto di A nè di R (lo spazio di riferimento rispetto al quale stiamo ragionando) e pertanto a rigore non potremmo pensare di prendere un intorno di +infinito; tuttavia se ragioniamo in R star (${R^*}$), la retta reale estesa che comprende i punti +infinito e -infinito, allora possiamo pensare ad un intorno di +infinito che comprende sicuramente punti di A! ... in realtà è convenzione comune definire in R gli intorni di +infinito e -infinito senza necessità che il punto +infinito e - infinito appartengano allo spazio R ... in tal caso è quindi possibile pensare che +infinito è un punto di accumulazione del nostro insieme anche rispetto allo spazio R.

Pertanto in conclusione possiamo dire che l'insieme dei punti di accumulazione del nostro insieme A e dato da:
\[{I_a} = [0,1]\; \cup \;[2, + \infty ]\]

Saluti. ;)


PS: Il post poteva essere categorizzato nella parte introduttiva della teoria dei limiti. Lo User Admin provvederà allo spostamento nella più opportuna categoria.
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maurizio.schirinzi
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