Teorema degli zeri

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Teorema degli zeri

Messaggioda Tolean » 18/12/2015, 11:29

Salve.
Mi sono imbattuto in questa tipologia di esercizi, ma ho qualche lacuna in alcuni passaggi:

Si consideri la funzione \[f(x)=x^8+x^6+x^2+log(x-1)\]
Si determini l'insieme di definizione di f e di dica se esiste un numero reale \[x{_{0}}\] tale che \[f(x{_{0}})=0\] motivando la risposta.

Grazie allo staff per eventuale risposta. :D
Tolean
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Re: Teorema degli zeri

Messaggioda maurizio.schirinzi » 21/12/2015, 23:33

Ciao, \[f(x) = {x^8} + {x^6} + {x^2} + \ln (x - 1)\]
innanzitutto come sempre calcoliamo il dominio della funzione che risulterà ovviamente
\[{D_f} = ]1, + \infty [\]
per dimostrare l'eventuale esistenza di un punto ${x_0}$ dove la funzione si azzera cioè $f({x_0}) = 0$ osserviamo che ai confini dell'intervallo di dominio abbiamo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} [{x^8} + {x^6} + {x^2} + \ln (x - 1)] = 3 + \ln ({0^ + }) = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [{x^8} + {x^6} + {x^2} + \ln (x - 1)] = + \infty \]
la funzione è continua sull'intero dominio ed inoltre è immediato verificare che la derivata prima risulta positiva su tutto il dominio e dunque la funzione è strettamente crescente su tutto il dominio; infatti si ha
\[f'(x) = 8{x^7} + 6{x^5} + 2x + \frac{1}{{x - 1}}\]
che risulta ovviamente positiva per x>1

Tutto questo già basterebbe per dimostrare l'esistenza di uno ed un solo punto zero della funzione; infatti se la funzione in prossimità del punto x=1 va a -infinito e per x->+infinito va a +infinito, essendo continua e strettamente crescente su tutto il dominio, dovrà per forza passare una sola volta per la quota zero e cioè intersecare l'asse delle x!

Per essere ancora più precisi e individuare anche una "zona" dove potrebbe trovarsi il punto zero possiamo chiamare in causa il Teorema degli zeri (di Bolzano); osserviamo che poichè
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} [{x^8} + {x^6} + {x^2} + \ln (x - 1)] = 3 + \ln ({0^ + }) = - \infty \]
allora possiamo affermare certamente che
\[\exists \varepsilon > 0\;\;\; \to \;\;\;f(1 + \varepsilon ) < 0\]
inoltre poichè
\[\ln (x - 1) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;x \ge 2\]
allora
\[f(x) = {x^8} + {x^6} + {x^2} + \ln (x - 1) > 0\;\;\; \to \;\;\;x \ge 2\]
dunque
\[f(2) = {2^8} + {2^6} + {2^2} + \ln (1) > 0\]
pertanto nell'intervallo
\[[1 + \varepsilon ,2]\;\;\;\varepsilon > 0\;\;\;\varepsilon < < 1\]
si avrà
\[f(1 + \varepsilon ) < 0\;\;\; \wedge \;\;\;f(2) > 0\]
ed essendo f(x) continua nell'intervallo (oltre che in tutto il dominio) saranno soddisfatte tutte le ipotesi del Teorema degli zeri (di Bolzano) che garantirà l'esistenza di almeno un punto zero cioè
\[\exists {x_0} \in ]1 + \varepsilon ,2[\;\;\; \to \;\;\;f({x_0}) = 0\]
ed essendo come dicevamo la funzione anche strettamente crescente, tale punto dovrà essere inevitabilmente unico dato che la funzione dopo aver incrociato l'asse delle x non potrà più tornare indietro!

Saluti. ;)

PS: Il topic andava postato nella opportuna categoria relativa al Teorema degli zeri (di Bolzano). Lo User Admin provvederà allo spostamento.
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