Studio del segno di una funzione con log esp radice e arcoseno

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Studio del segno di una funzione con log esp radice e arcoseno

Messaggioda asiatruma » 27/02/2015, 19:02

Salve avrei bisogno del suo aiuto.

Si risolva la disequazione
\[\left ( 2^{2x}-2^{x}-2 \right )\cdot \sqrt{1+log_{\tfrac{2}{\pi }}\left ( arccos\frac{x-1}{x+1} \right )}\geq 0\]
grazie
asiatruma
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Re: Studio del segno di una funzione con log esp radice e arcoseno

Messaggioda maurizio.schirinzi » 05/03/2015, 14:35

Ciao, trattandosi dello studio di segno di una funzione il topic andava postato nella categoria più specifica relativa allo studio del segno, qui siamo nello studio completo! ...

Venendo alla tua funzione
\[f(x) = ({2^{2x}} - {2^x} - 2)\sqrt {1 + {{\log }_{\frac{2}{\pi }}}(\arccos (\frac{{x - 1}}{{x + 1}})} \]
occorre ovviamente studiare dapprima il dominio (indispensabile prima di procedere con qualsiasi altro tipo di studio) impostando le condizioni di esistenza seguenti:
\[C.E.\left\{ {\left. \begin{array}{l}
- 1 \le \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \le 1\\
x + 1 \ne 0\\
1 + {\log _{\frac{2}{\pi }}}(\arccos (\frac{{x - 1}}{{x + 1}}) \ge 0
\end{array} \right\}} \right.\;\;\; \to \;\;\;{D_f}\]
lascio a te il relativo calcolo del dominio.

Per lo studio del segno (sulla domanda in positività) basta osservare che per il secondo fattore si ha
\[\sqrt {1 + {{\log }_{\frac{2}{\pi }}}(\arccos (\frac{{x - 1}}{{x + 1}})} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in {D_f}\]
mentre per il primo fattore si ha
\[{2^{2x}} - {2^x} - 2 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;{({2^x})^2} - {2^x} - 2 \ge 0\]
che andrà risolta con le solite tecniche delle disequazioni esponenziali non elementari ... e in questo caso semplicemente per sostituzione ponendo
\[{2^x} = t\]
da cui abbiamo
\[{t^2} - t - 2 \ge 0\]
\[{t_{1/2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 8} }}{2} = \frac{{1 \pm 3}}{2} = \left\{ \begin{array}{l}
2\\
- 1
\end{array} \right.\]
dunque
\[{t^2} - t - 2 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;t \le - 1\;\; \vee \;\;t \ge 2\]
pertanto
\[{2^x} \le - 1\;\; \vee \;\;{2^x} \ge 2\;\;\; \to \;\;\;\not \exists \,x \in R\;\; \vee \;\;x \ge 1\;\;\; \to \;\;\;x \ge 1\]
in conclusione la funzione sarà positiva o nulla nel suo dominio per
\[x \ge 1\;\; \wedge \;\;x \in {D_f}\]

Saluti. ;)

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