Calcolo matrice inversa e soluzione di un sistema lineare con Cramer

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Calcolo matrice inversa e soluzione di un sistema lineare con Cramer

Messaggioda MarcoMath » 10/09/2015, 14:25

Buongiorno professore, potrebbe aiutarmi su questi esercizi?
Grazie

Matrice: trovare l'inversa per k=-1
K 0 K
1 1 -1
1 K -2

e questo

4) risolvere sistema con cramer:
X-y+z=1
X-y-z=-1
X+y-2z=0
MarcoMath
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Re: Calcolo matrice inversa e soluzione di un sistema lineare con Cramer

Messaggioda maurizio.schirinzi » 13/09/2015, 16:17

Ciao, innanzi tutto ti prego di utilizzare sempre l'equation editor per scrivere le formule matematiche e di aprire un nuovo topic per ogni singolo tipo di esercizio o quesito utilizzando sempre un titolo del topic inerente all'argomento del quesito stesso!

Venendo ai tuoi esercizi abbiamo:

- Calcolo inversa
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
k&0&k\\
1&1&{ - 1}\\
1&k&{ - 2}
\end{array}} \right)\]
per k=-1 la matrice diventa
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&{ - 1}\\
1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right)\]
per l'esistenza dell'inversa il determinante della matrice deve essere diverso da zero, quindi calcoliamolo e verifichiamo che lo sia (dato che poi ci servirà per il calcolo stesso dell'inversa); usando il metodo di Laplace (da preferirsi sempre rispetto a Sarrus!) per il calcolo del determinante si ha:
\[\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&{ - 1}\\
1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right| = - 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right| - 0\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&{ - 2}
\end{array}} \right| - 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right| = \]
\[ = - 1( - 2 - 1) - 1( - 1 - 1) = 3 + 2 = 5 \ne 0\]
Il calcolo dell'inversa si esegue con la nota formula dei complementi algebrici trasposti, metodo a mio parere da preferire sempre (specialmente per matrici 3x3) rispetto ai metodi di riduzione con Gauss proposti spesso dai prof universitari e da molti libri di testo e che portano lo studente poco allenato a confondersi con i calcoli di riduzione di Gauss! ...

Ecco di seguito la traccia dello svolgimento lasciando a te tutti i calcoli. Indicando l'inversa con
\[{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{{b_{13}}}\\
{{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{{b_{23}}}\\
{{b_{31}}}&{{b_{32}}}&{{b_{33}}}
\end{array}} \right)\]
la formula del calcolo con i complementi algebrici trasposti è la seguente
\[{b_{ij}} = \frac{{{A_{ji}}}}{{\det (A)}} = \frac{{{{( - 1)}^{i + j}}{M_{j,i}}}}{{\det (A)}}\]
dove ${{M_{j,i}}}$ è il minore complementare trasposto.

Di seguito il calcolo di un elemento dell'inversa (lascio a te gli altri)
\[{b_{12}} = \frac{{{A_{21}}}}{{\det (A)}} = \frac{{ - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\
{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right|}}{{\det (A)}} = \frac{{ - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{5} = \frac{1}{5}\]

- Sistema lineare con Cramer
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z = 1\\
x - y - z = - 1\\
x + y - 2z = 0
\end{array} \right.\]
scriviamo la matrice dei coefficienti del sistema e verifichiamo che il suo determinante sia diverso da zero (per l'esistenza dell'unica soluzione del sistema da potersi poi calcolare con Cramer)
\[{A_i} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1\\
1&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&{ - 2}
\end{array}} \right)\]
\[\Delta = \det ({A_i}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1\\
1&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&{ - 2}
\end{array}} \right| = ... = 4 \ne 0\]
A questo punto per il metodo di Cramer possiamo calcolare l'unica terna di soluzioni con le seguenti formule (lascio a te i calcoli):
\[x = \frac{{{\Delta _x}}}{\Delta } = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1\\
{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{4} = ...\]
\[y = \frac{{{\Delta _y}}}{\Delta } = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&{ - 1}&{ - 1}\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{4} = ...\]
\[z = \frac{{{\Delta _z}}}{\Delta } = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1\\
1&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&0
\end{array}} \right|}}{4} = ...\]

Saluti. ;)
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