Dimostrazione quesito vero/falso con sup ed inf

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Dimostrazione quesito vero/falso con sup ed inf

Messaggioda asiatruma » 04/09/2014, 10:59

salve avrei bisogno del suo aiuto su questo esercizio.

Siano $A,B\subseteq \mathbb{R}$ non vuoti tali che $A \subseteq B $.
Si dimostri che:
$sup(A)\leq sup(B)$ e $inf(A) \geq inf(B)$ .

Se $A\subset B $, è vero che:

$sup(A)<sup(B)$

e

$inf(A) > inf(B)$ ?

grazie..
asiatruma
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Re: Dimostrazione quesito vero/falso con sup ed inf

Messaggioda maurizio.schirinzi » 04/09/2014, 15:04

Ciao, è immediato dimostrare con un semplice contro-esempio che l'affermazione non può essere vera! ...

Siano:
\[\begin{array}{l}
A = [2,5[\;\;\;\; \to \;\;\;\sup (A) = 5\\
B = [1,5]\;\;\; \to \;\;\;\sup (B) = 5\\
A \subset B
\end{array}\]
ma risulta evidente che (per definizione di estremo superiore)
\[\sup (A) = \sup (B) = 5\]
quindi non può essere vero che
\[A \subset B\;\;\; \to \;\;\;\sup (A) < \sup (B)\]
Analoghi ragionamenti si hanno per inf(A) e inf(B)

Saluti. ;)
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