Calcolo area di un segmento parabolico

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Calcolo area di un segmento parabolico

Messaggioda vinx91ct » 14/02/2014, 13:21

Ciao, il problema è il seguente:

Siano date le funzioni $f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ e $g:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, definite, rispettivamente, dalle leggi $f(x)=x^2+2$ e $g(x)=3x$. Determinare l'area della regione di piano delimitata dai grafici di $f$, di $g$ e della retta di equazione $x=3$.

Non ho idea di come si debba procedere :(
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Re: Calcolo area di un segmento parabolico

Messaggioda maurizio.schirinzi » 14/02/2014, 19:04

Ciao, si tratta del classico problema di determinare l'area tra due curve in generale mediante il calcolo integrale. Tuttavia nel caso particolarissimo di area di un "segmento parabolico" (area tra una retta che taglia la parabola in 2 punti e la parabola stessa) esiste una formula, che si dimostra agevolmente sempre con gli integrali, ma che viene enunciata solitamente nella parte di Geometria Analitica e nota come Teorema di Archimede:

L’area del segmento parabolico sotteso ad una corda AB si calcola moltiplicando per 2/3 l’area del rettangolo circoscritto al segmento.

Ecco un link dove è spiegato come fare con le sole conoscenze di Geometria Analitica senza l'uso degli integrali:

Area del segmento parabolico

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Re: Calcolo area di un segmento parabolico

Messaggioda vinx91ct » 14/02/2014, 20:49

E se invece volessi procedere con gli integrali? :?:
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Re: Calcolo area di un segmento parabolico

Messaggioda maurizio.schirinzi » 14/02/2014, 23:59

Dopo aver calcolato i punti di intersezione tra retta e parabola, $A(1,3)$ , $B(2,6)$, e appurato che la retta è al di sopra della parabola nell'intervallo tra quei due punti (intervallo di integrazione) si ha:
\[Area = \int\limits_1^2 {[(3x) - ({x^2} + 2)]\,dx} = \int\limits_1^2 {( - {x^2} + 3x - 2)\,dx} = \;...\]

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