Integrale con esponenziale in base 2

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Integrale con esponenziale in base 2

Messaggioda GiancarloRossimiao » 26/02/2017, 18:01

Salve a tutti,
nel calcolo di questo integrale indefinito ho seguito i seguenti passaggi. Tuttavia il risultato non è esatto in quanto è sbagliato l'integrale di a^x. Perchè i miei passaggi non sono corretti?

\[\int (2^x+2x)dx = \int (2^x dx) + \int (2x dx) = \int (\frac{2^x*\log_{2}e}{\log_{2}e}dx) + x^2 = \frac{1}{\log_{2}e}*\int (2^x*\log_{2}e)dx + x^2 = \frac{2^x}{\log_{2}e} +x^2+c\]

Collegato al mio problema ho trovato questa nota nel libro. Perchè il prodotto tra questi due logaritmi è 1?

\[\log_{a}b*\log_{b} a =1\]
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Re: Integrale con esponenziale in base 2

Messaggioda maurizio.schirinzi » 05/03/2017, 19:13

Ciao,

la risposta alla tua prima domanda è che la primitiva dell'esponenziale in base a è:
\[\int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln (2)}} + c} \]

la risposta alla seconda domanda è che cambiando di base uno dei due logaritmi con la formula del cambiamento di base si ha:
\[{\log _a}(b) \cdot {\log _b}(a) = {\log _a}(b) \cdot \frac{{{{\log }_a}(a)}}{{{{\log }_a}(b)}} = {\log _a}(b) \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}(b)}} = 1\]

saluti. ;)
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Re: Integrale con esponenziale in base 2

Messaggioda GiancarloRossimiao » 05/03/2017, 20:38

Ciao,
purtroppo ho ancora dei dubbi per la prima risposta. Conosco la primitiva ma ho problemi con la costante. Ad esempio il risultato in allegato è giusto?

\[d(2^{x}*\log_{2}e)= \frac{2^{x}}{\log^2_{e}2}\]

Grazie.
Saluti :oops:
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Re: Integrale con esponenziale in base 2

Messaggioda maurizio.schirinzi » 06/03/2017, 19:35

Ciao, non capisco bene quale sia il problema ... in ogni caso ecco le risposte alle due domande:

1) per l'integrale abbiamo:
\[\int {({2^x} + 2x)dx = \int {{2^x}dx + \int {2x\,dx} } } = \frac{{{2^x}}}{{\ln (2)}} + {x^2} + c\]

2) Per la derivata abbiamo:
\[D[{2^x}{\log _2}(e)] = {2^x}\ln (2){\log _2}(e) = {2^x}\ln (2)\frac{{\ln (e)}}{{\ln (2)}} = {2^x}\ln (2)\frac{1}{{\ln (2)}} = {2^x}\]

saluti. ;)
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Re: Integrale con esponenziale in base 2

Messaggioda GiancarloRossimiao » 06/03/2017, 20:14

Buonasera,
ora ho capito! Mi sono confuso tra la derivate
\[[D(a^{x})= a^{x}*\ln a]

[D(\log_{a}x)= \frac{1}{x}*\log_{a}e]\]

Grazie mille.
Alla prossima :lol:
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